Российский математик Иван Ремизов вывел универсальную формулу для решения задач, которые более 190 лет считались нерешаемыми принятым аналитическим путем.
фото: © Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Учёный из НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде Иван Ремизов предложил метод решения дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами — задачи, которая считалась неразрешимой с 1834 года. Его работа открывает новые возможности в фундаментальной математике, физике и экономике, сообщает Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики.
В 1834 году французский математик Жозеф Лиувилль показал, что невозможно выразить решение такого уравнения через его коэффициенты, используя стандартный набор действий: сложение и вычитание, умножение и деление, а также элементарные функции, такие как корни, логарифмы, синус, косинус, и интегралы. С того времени более 190 лет это являлось константой в перечисленных технических дисциплинах. Простую формулу, похожую на формулу решения квадратного уравнения через дискриминант, давно перестали искать для дифференциальных уравнений.
— В средней школе на уроках математики учат, что для нахождения x в уравнении ax2+bx+c=0 нужно просто подставить коэффициенты a, b и c в готовую формулу вычисления корня уравнения через дискриминант. Это удобно, быстро и понятно. Однако в высшей математике, в которой описываются сложные процессы, используются уравнения вида ay''+ by'+cy=g. Это тоже уравнение второго порядка, но не алгебраическое, а дифференциальное, — поясняет университет.
Но Ремизов обошёл это ограничение, расширив привычный набор инструментар — он добавил операцию нахождения предела последовательности, что позволило вывести универсальную формулу — подставить коэффициенты a, b, c и g уравнения ay''+ by'+cy=g, и найти его решение — функцию y.
Если классическое квадратное уравнение описывает движение по ровной дороге с постоянной скоростью, то уравнения, которые изучал Ремизов, — это движение по постоянно меняющемуся ландшафту, где влияют тысячи факторов. Его метод позволяет «нарезать» этот сложный процесс на бесконечное число простых шагов, а затем с помощью преобразования Лапласа (математического метода, который переводит задачу с языка сложных изменений на язык обычных алгебраических вычислений) собрать их в точное решение.
— Представьте, что решение уравнения — это большая картина. Мы не можем увидеть её сразу, но можем восстановить, быстро прокрутив «киноленту» её создания, — поясняет Иван Ремизов.
Дифференциальные уравнения второго порядка используются не только для моделирования событий реального мира, но и для определения новых функций, которые нельзя задать иным образом. Например, так называемые специальные функции Матье и Хилла, отнсящися к ним, критически важны для понимания того, как движутся спутники на орбите или протоны в Большом адронном коллайдере.
— Единственное рабочее определение таких функций заключается в том, что они являются решениями конкретных сложных уравнений. Это как если бы вы не знали имени человека и могли описать его только через работу. Например: тот человек, который водит красный автобус по пятому маршруту. Понятно, о ком идет речь, но на практике не помогает обратиться к нему по имени, — поясняет Иван Ремизов.
Открытие создаёт мост между классической математикой и современной физикой: решение впервые можно записывать в форме, аналогичной интегралам Нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана, с помощью которых описывают движение квантовых частиц.
Результаты работы опубликованы во Владикавказском математическом журнале.
Ранее российские учёные впервые вырастили кристаллы в открытом космосе.
